Bells ulighed
I 1964 udledte den irske fysiker John S. Bell et teoretisk resultat [Bel1964], der gør det muligt at teste enhver lokal skjult variabel teori imod kvantemekanikkens forudsigelser. Resultatet, Bells ulighed, findes i mange alternative formuleringer. Her fokuserer vi på den variant af Bells ulighed der er kendt som CHSH uligheden [Cla1969] (Clauser-Horne-Shimony-Holt) givet ved
$$|S| \leq 2,$$
hvor
\begin{align}S(\alpha, \alpha', \beta, \beta') &= E_{HV}(\alpha,\beta) - E_{HV}(\alpha, \beta') + E_{HV}(\alpha', \beta) + E_{HV}(\alpha', \beta') \label{eq: S parameter}\end{align}
er et mål for korrelationerne imellem to partikler når lokalrealisme antages. Uligheden udtrykker således en øvre grænse for styrken af korrelationerne i en hvilken som helst teori baseret på lokalrealisme, og dette kan så sammenholdes med den tilsvarende kvantemekaniske forudsigelse ved at konstruere $S$-parameteren ud fra (\ref{eq: QMkorrelation}) og de kvantemekaniske koincidenssandsynligheder beregnet som i (\ref{eq: koincidenssandsynlighed}).
For at se, hvordan Bells ulighed udledes, starter vi med at antage lokalitet, og dermed at der findes skjulte variable som vi betegner med $\lambda$. John Bell skriver i sin oprindelige artikel: ``It is a matter of indifference in the following whether $\lambda$ denotes a single variable or a set, or even a set of functions, and whether the variables are discrete or continuous'' [Bel1964]. Men de skjulte variables rolle er at bestemme korrelationerne imellem f.eks to fotoner i det øjeblik de dannes. Resultaterne af efterfølgende målinger på de to fotoner vil således være fuldstænding bestemt af den skjulte variabel og de eksperimentelle indstillinger. Hvis målingerne gentages mange gange med fotonpar frembragt i identiske tilstande, så vil $\lambda$ variere fra gang til gang, men resultaterne er for hver gentagelse entydigt bestemt af $\lambda$, $\alpha$ og $\beta$:
\begin{align}A &= A(\alpha,\lambda) = \pm 1 \\B &= B(\beta,\lambda) = \pm 1\end{align}
Essentielt for lokalitetsprincippet er, at resultatet $B$ ikke afhænger af målingen $A$ i den anden mode og indstillingen $\alpha$ for denne måling, og omvendt. Vi antager desuden, at fordelingen af værdierne af $\lambda$ over mange eksperimentelle gentagelser er beskrevet med en sandsynlighedsfordeling $p(\lambda) \geq 0$ således at
\begin{equation}\int p(\lambda) d\lambda = 1.\end{equation}
Ved hjælp af denne sandsynlighedsfordeling kan vi beregne den korrelation mellem målingerne den skjulte variabel teori forudsiger:
\begin{equation}E_{HV}(\alpha, \beta) = \int A(\alpha, \lambda) B(\beta, \lambda) p(\lambda) d\lambda.\end{equation}
Vi forestiller os nu, at der foretages målinger på de to fotoner i to forskellige polarisationsbaser i hver mode, dvs.:
\begin{align}A &= A(\alpha,\lambda) = \pm 1, \nonumber \\A' &= A(\alpha',\lambda) = \pm 1, \nonumber \\B &= B(\beta,\lambda) = \pm 1, \nonumber\\B' &= B(\beta',\lambda) = \pm 1. \label{eq: measurements}\end{align}
Vi kan nu udnytte flg. generelle matematiske resultater: (I) Hvis to størrelser $B$ og $B'$ hver kan antage værdierne $\pm1$, så gælder ét af følgende to tilfælde
\begin{align}B + B' = 0 \, &\land B - B' = \pm2\\B - B' = 0 \, &\land B + B' = \pm2.\end{align}
(II) Hvis $A$, $A'$, $B$ og $B'$ alle er begrænset til at antage værdierne $\pm1$, så er
\begin{align}s &= A(B - B') + A'(B + B')\\&= AB - AB' + A'B + A'B'\\&= \pm 2.\end{align}
Indsætter vi nu udtrykkene fra (\ref{eq: measurements}), ganger på begge sider af ligningen med sandsynlighedsfordelingen $p(\lambda)$ og integrerer over alle $\lambda$-værdier fås:
\begin{align}S(\alpha,\alpha',\beta,\beta') &= \int s\, p(\lambda) d\lambda \nonumber \\&= \langleA(\alpha,\lambda)B(\beta,\lambda) - A(\alpha,\lambda)B'(\beta',\lambda) \nonumber \\&\quad+ A'(\alpha',\lambda)B(\beta,\lambda) + A'(\alpha',\lambda)B'(\beta',\lambda) \rangle \nonumber \\&= E_{HV}(\alpha,\beta) - E_{HV}(\alpha,\beta') \nonumber \\&\quad + E_{HV}(\alpha',\beta) + E_{HV}(\alpha',\beta')\end{align}
Da $s = \pm 2$ er middelværdien $S$ begrænset til ${-2 \leq S \leq 2 }$, dvs. $|S| \leq 2$, hvilket netop er Bells ulighed. Her har vi i (\ref{eq: S parameter}) udnyttet at middelværdien er en linær operation, dvs. $\langle X + Y \rangle = \langle X \rangle + \langle Y \rangle$. Vi har desuden brugt antagelsen om realitet idet udregningen af middelværdierne i (\ref{eq: S parameter}) forudsætter, at $A$ og $B$ er veldefinerede og for hver realisering af eksperimentet har værdier der er bestemt af $\lambda$ og hhv. $\alpha$ og $\beta$ forud for målingen.
Modsat korrelationsfinktionerne $E$ har $S$ parameteren ikke nogen klar fysisk fortolkning. For at få en bedre forståelse af $S$ kan vi derfor prøve at visualisere den. Vha. sandsynlighederne (\ref{eq: P_HV})-(\ref{eq: P_VV}) og (\ref{eq: QMkorrelation}) kan vi finde de kvantemekaniske korrelationsfunktioner, og dem kan vi efterfølgende indsætte i udtrykket for $S$ (\ref{eq: S parameter}). Hvis vi ydermere antager, at de vinkler der måles ved for den ene foton er $\alpha = -\pi/4\,(-45^{\circ})$ og $\alpha' = 0\,(0^{\circ})$, kan vi plotte $S$ som funktion af $\beta$ og $\beta'$. Resultatet er vist i figur~\ref{fig: Splot}. Af figuren fremgår det tydeligt, at kvantemekanikkens forudsigelser af værdien for $S$ i særlige parameter regioner overstiger grænserne på $S=\pm 2$, dikteret af teorier baseret på skjulte variable og lokalrealisme. $S$-værdier der ligger inden for disse regioner kan altså ikke beskrives ved en klassisk variant af kvantemekanikken.
