Ordet tilstand bruger vi normalt som en betegnelse for, hvordan et objekt præcist er på et bestemt tidspunkt, f.eks en patients tilstand, og det dækker over en lang række oplysninger om egenskaber ved objektet, som tilsammen giver en fuldstændig beskrivelse af det. Udover at beskrive, så kan vi også ud fra den aktuelle tilstand præcist beregne, hvad tilstanden var på et tidligere tidspunkt eller vil være i fremtiden, hvis vi kender alle de påvirkninger objektet er udsat for.
Et eksempel fra mekanikken kunne være et fjederpendul, dvs. et lod med masse $m$, der svinger op og ned i en fjeder med fjederkonstant $k$. Pendulets tilstand er til tidspunktet $t=0$ givet ved dets position $x_0 = x(0)$ relativt til ligevægtpunktet og impuls $p_0 = p(0)$. Ved at bruge Hookes lov og Newtons lov kan vi opskrive bevægelsesligningen for pendulet:$$ m \frac{d^2x(t)}{dt^2} = - k \cdot x(t), $$som generelt har løsningen$$ x(t) = A \cdot \cos(\omega t) + B \cdot \sin(\omega t). $$$A$ og $B$ er konstanter og $\omega = \sqrt{k/m}$ er pendulets frekvens. Ved at bruge, at tilstanden til tiden $t=0$ er $(x_0, p_0)$, kan konstanterne bestemmes til at være $A = x_0$ og $B = p_0/m\omega$. Det kan vi bruge til at nå frem til løsningen,$$ x(t) = x_0 \cos (\omega t) + \frac{p_0}{m\omega} \sin (\omega t) $$og for impulsen får vi$$ p(t) = - m \omega x_0 \sin(\omega t) + p_0 \cos (\omega t). $$Tilsammen giver det os pendulets tilstand til ethvert tidspunkt, $(x(t), p(t))$.
En anden vigtig egenskab ved et objekts tilstand er, at tilstanden fortæller os, hvilket resultat vi får, hvis vi måler en bestemt egenskab ved objektet. Tager vi for eksempel fjederpendulet ovenfor, så har det tilstanden $(x_0, p_0)$ til tidspunktet $t=0$. Det betyder, at hvis vi måler pendulets position eller impuls til tiden $t=0$, så vil resultatet blive $x_0$ og $p_0$. Og laver vi målingen på et tidligere eller senere tidspunkt $t$, så vil resultatet være givet ved tilstanden $(x(t), p(t))$. Det virker måske trivielt og fuldstændig indlysende at det er sådan, så hvorfor bruge tid på at skære det ud i pap? Fordi vi om lidt vil se, at begrebet tilstand i kvantemekanikken på afgørende vis adskiller sig fra det klassiske begreb.
I kvantemekanikken beskrives tilstanden af et fysisk system ved en tilstandsvektor, $|\psi\rangle$, i et vektorrum kaldet tilstandsrummet. [$\psi$ er det græske bogstav "psi".]
Den lidt besynderlige notation for vektorerne, $|x\rangle$, blev introduceret af den britiske fysiker Paul Dirac og det kaldes derfor også Dirac notation. En vektor $|x\rangle$ kaldes også for en ket-vektor og er en form for søjlevektor $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$. Derudover findes også bra-vektorer $\langle x |$ svarende til rækkevektorer $\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$.
Fra rumgeometrien ved vi, at vektorer i 3D har tre koordinater, som hver især svarer til længden af vektorens projektion på en af tre vinkelrette enhedsvektorer$$\vec{e}_x=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad\vec{e}_y=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad\vec{e}_z=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$Vektorrummet er fastlagt (udspændt) af enhedsvektorerne, dvs. at enhver vektor kan skrives som en vægtet sum af enhedsvektorer. For eksempel er $$\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 \vec{e}_x + 3 \vec{e}_y - 1 \vec{e}_z.$$Man siger også, at enhedsvektorerne udgør en basis for vektorrummet, og derfor kaldes de også for basisvektorer.
På samme måde er kvantemekanikkens tilstandsrum for et system også fastlagt af et antal basisvektorer, $$|\phi_1\rangle, \quad |\phi_2\rangle, \quad \ldots \quad |\phi_n\rangle. \quad \textrm{[$\phi$ er det græske bogstav "phi".]}$$Antallet $n$ af basisvektorer, og dermed antallet af dimensioner i tilstandsrummet, kan være alt fra én til uendelig, afhængig af hvilket system man beskriver.
Et konkret eksempel på kvantetilstande for et fysisk system er energiniveauerne i hydrogenatomet, givet ved\begin{equation*}E_n = -\frac{h \cdot c \cdot R}{n^2}.\end{equation*}Potentialbrønden, der holder elektronen fanget omkring protonen i hydrogen atomet, er resultatet af to bidrag: et frastødende centripetal potential (rød) $\propto 1/r^2$ og et tiltrækkende Coulomb potential (blå) $\propto -1/r$. Det lavest mulige energiniveau for elektronen, svarende til den der er stærkest bundet til protonen, har en energi på $E = -13.6\,\textrm{eV}$. Dvs. at der skal tilføres en energi på 13.6 eV for at rive elektronen fri af potentialbrønden og ionisere hydrogenatomet. Hver af energiniveauerne er mulige kvantetilstande for elektronen og kan repræsenteres med tilstandsvektorer, f.eks. $|\downarrow\rangle$ for grundtilstanden og $|\uparrow\rangle$ for den lavest exciterede tilstand.
Nå, men tilbage til tilstandsrummet... Det er altså et vektorrum med vektorer i, men derudover er det også det man i matematikken kalder et Hilbertrum (opkaldt efter matematikeren David Hilbert), og det betyder bla., at man for alle par af vektorer kan beregne det indre produkt $\langle \phi|\phi' \rangle = c$ mellem dem. Vi kender noget lignende fra rumgeometrien, hvor det indre produkt (prikproduktet) mellem to vektorer er, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$. Fælles for de to indre produkter er, at de giver os et tal, og ikke en ny vektor. En forskel er dog, at det indre produkt i tilstandsrummet generelt giver et komplekst tal (se nederst på siden).
Det indre produkt er vigtigt, da det gør det muligt at definere længden af vektorerne i tilstandsrummet: $\sqrt{\langle \phi | \phi \rangle}$. Umiddelbart ser det måske nyt ud, men det er faktisk på præcis samme måde, at længden af en vektor beregnes i rumgeometrien. Tager vi f.eks vektoren $\vec{v} = (2, 3)$, så er dens længde$$ ||\vec{v}|| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqrt{2 \cdot 2 + 3 \cdot 3} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}.$$Den sidste del er præcis Pythagoras sætning brugt på vektorens koordinater.
Det indre produkt mellem to vektorer er desuden en måde at beregne overlappet mellem de to vektorer. På den måde kan man bestemmet, hvor stor en komponent af én vektor er der i en anden. Specifikt kan vi også bestemme om to vektorer er vinkelrette på hinanden. I det tilfælde er deres indre produkt nemlig 0. Ligesom enhedsvektorerne i rumgeometrien, så har basisvektorerne i tilstandsrummet også alle længden 1, og de er alle vinkelrette på hinanden. Dvs. $\langle \phi_1 | \phi_1 \rangle = \langle \phi_2 | \phi_2 \rangle = ... = 1$ og $\langle \phi_1 | \phi_2 \rangle = \langle \phi_2 | \phi_3 \rangle = ... = 0$.
Tilstandsvektoren for et system skal altid være normaliseret, dvs. have længden 1. Et eksempel på en tilstandsvektor kunne være $|\psi\rangle = a|\phi_1\rangle + b|\phi_2\rangle$. Beregner vi længden af vektoren fås:\begin{align}\sqrt{\langle \psi | \psi \rangle} &= \sqrt{\big( a^*\langle\phi_1| + b^* \langle \phi_2| \big) \big( a|\phi_1\rangle + b |\phi_2\rangle \big)}\\&= \sqrt{|a|^2 + |b|^2}. \label{eq: normalisation}\end{align}Hvis $|\psi\rangle$ skal være en gyldig tilstandsvektor, så skal $\langle \psi | \psi \rangle =1$. Det betyder, at summen af absolut kvadraterne på koefficienterne $a$ og $b$ skal være 1.
I udregningen ovenfor har vi brugt, at\begin{align}\langle \phi_1 | \phi_2\rangle &= \langle \phi_2 | \phi_1\rangle = 0\\\langle \phi_1 | \phi_1\rangle &= \langle \phi_2 | \phi_2\rangle = 1.\end{align}
Vi brugte desuden en af de egenskaber der karakteriserer et vektorrum, nemlig, at hvis man tager to vektorer og lægger dem sammen, så får man en ny vektor som også er en del af vektorrummet. Det er det matematiske argument for, at vi godt kan have tilstandsvektorer der er linearkombinationer af basisvektorer, som f.eks $|\psi\rangle = a|\phi_1\rangle + b|\phi_2\rangle$. Muligheden for at blande tilstande kaldes for superpositionsprincippet og tilstande, der er en blanding af to eller flere komponenter klades for superpositionstilstande. Meget af grunden til at kvantemekanik ofte beskrives som mærkelig og uforståelig skyldes netop den type tilstande. Mere om det i afsnittet Superpositioner.
Et vigtigt eksempel på et kvantemekanisk system er en "qubit". Qubit betyder quantum bit og er den kvantemekaniske version af en bit, som er den logiske enhed for digital information. En bit kan være i en af to tilstande svarende til de binære værdier 0 eller 1. Tilsvarende er en qubit et kvante-system med et tilstandsrum udspændt af to basisvektorer, som ofte betegnes $|0\rangle$ og $|1\rangle$. Et eksempel på et fysisk system der kan bruges som qubit er polarisationen af en enkelt foton, som kan beskrives vha. af to tilstande, $|H\rangle$ og $|V\rangle$, svarende til hhv. horisontal og vertikal polarisation. QuantumLabs eksperimenter handler netop om fotoners polarisationstilstande.
En helt afgørende forskel mellem klassiske binære bits og qubits er, at qubits ikke kun kan være i tilstandene $|0\rangle$ og $|1\rangle$ men også i en hvilken som helst superpositionstilstand $|\psi\rangle = a|1\rangle + b|0\rangle$, hvor koefficienterne blot skal opfylde, at $|a|^2 + |b|^2 =1$. Hvis du sidder og tænker, at det ligner ligningen for en cirkel med radius 1 [$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$, hvor $(x_0,y_0)$ er cirklens centrum og $r$ dens radius], så er det godt set. Men fordi $a$ og $b$ er komplekse tal, så bliver det i stedet til en tre-dimensionel sfære med radius 1. Alle de mulige kvantetilstande for qubiten ligger på overfladen af sfæren - I bunden af sfæren ligger $|1\rangle$ svarende til $a=1$ og $b=0$, og på toppen har vi $|0\rangle$ svarende til $a=0$ og $b=1$.
Qubit tilstande kan illustreres på en 3D-sfære kaldet Bloch sfæren. Tilstandene $|0\rangle$ og $|1\rangle$ ligger på sfærens poler og langs ækvator ligger de symmetriske superpositionstilstande. Ethvert punkts på sfæren svarer til en mulig qubit tilstand.
Mængden af komplekse tal betegnes $\mathbb{C}$ og består af tal på formen $z = a + b\,\mathrm{i}$. Tallene $a$ og $b$ er begge reelle tal og beskriver hhv. realdelen og imaginærdelen af $z$, mens $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ er den imaginære enhed.
Et komplekst tal $z$ kan angives som et punkt $(a,b)$ i det komplekse plan (se figur) og længden af $z$, også kaldet dets modulus, er givet ved\begin{align*}|z|^2 = z \bar{z}= (a + b\,\mathrm{i})(a - b\,\mathrm{i})= a^2 + b^2.\end{align*}Dvs. $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Tallet $\bar{z}$ er den kompleks konjugerede til $z$ og findes ved at skifte fortegn på imaginærdelen.
Et komplekst tal $z = a + b\,\mathrm{i}$ kan afbildes i det komplekse talplan som punktet med koordinaterne $(a, b)$. Længden af $z$, $|z|$, er afstanden fra $(0,0)$ ud til $(a,b)$. Den kompleks konjugerede til tallet, $\bar{z}$, findes ved at ændre fortegnet på imaginærdelen.
