De ting ved et fysisk system som vi kan måle i et eksperiment kaldes for observable [det der kan observeres], og normalt tænker vi ikke så meget over, hvordan disse fysiske størrelser egentlig er beskrevet (repræsenteret) teoretisk. Vi bekymrer os heller ikke så meget om, hvorvidt størrelserne overhovedet kan måles. Når vi for eksempel udfører et forsøg om vands specifikke varmekapacitet, så undersøger vi sammenhængen $$\Delta E = m \cdot c \cdot \Delta T, $$og vi prøver at vise, at $c$ har en helt særlig værdi. Symbolerne i ligningen repræsenterer de fysiske størrelser, men de er bare pladsholdere for de faktiske værdier størrelserne har. Ved at gå det abstraktionsniveau op, og ikke bare arbejde med værdierne svarende til den tilstand systemet er i lige nu, så kan vi se den matematiske sammenhæng mellem størrelserne, og det giver os en ide om, hvordan $c$ kan bestemmes. Ligningen fortæller os, at $\Delta E$ er proportional med $\Delta T$, så ved at variere den ene og måle den anden, kan vi finde proportionalitetskonstanten og dermed $c$. Men det er ikke altid, at fysikken, og dermed også den matematiske repræsentation af den, er helt så enkel. I elektromagnetismen er de elektriske og magnetiske felter beskrevet ved vektorfelter, fordi felterne i hvert eneste punkt i rummet både har en størrelse og en retning. Endnu mere kompliceret er det at beskrive materialers permittivitet, der er et mål for let eller svært det er for et elektrisk felt at flytte rundt på de elektriske ladninger i materialet. Permittiviteten afhænger nemlig af, hvordan materialet og feltet er orienteret i forhold til hinanden i rummets tre dimensioner. Derfor er det nødvendigt at bruge det er i matematikken hedder en tensor, for at kunne beskrive den.
Som vi har set, så beskrives tilstanden for et kvante-system på en ret abstrakt måde som en vektor i et vektorrum, og beskrivelsen af de observable vi kan måle, når systemet er i denne tilstand, skal på en eller anden måde flettes ind i vektorrummet. Derfor er kvantemekanikkens repræsentation af observable meget mere kompliceret end bare symboler der står i stedet for talværdier.
Og hvad er så en operator? En vektor er et objekt med en længde og en retning, og kort fortalt, så er en operator et objekt der virker (opererer) på vektorerne og ændrer deres længde og/eller retning. Man siger også at en vektor transformeres af en operator. I kvantemekanikken viser man, at noget er en operator ved at sætte en "hat" $\hat{}$ [circonflexe] ovenover symbolet, f.eks. $\hat{A}$. Og det at en operator virker på en tilstand skrives ved at gange den på tilstandsvektoren fra venstre.
Ligesom vi med vektorer både kan skrive dem på en abstrakt måde som $\vec{a}$ og mere konkret vha. dens koordinater i det vektorrum den tilhører, f.eks. $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, så kan vi også skrive operatorer på koordinatform. Det kaldes for en matrix [i bestemt form matricen, og i flertal matricer].
Et eksempel på en operator kunne være den der strækker en vektor dobbelt så lang langs x-aksen. Matricen svarende til den operator er:$$ \hat{S} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$Hvis vi lader den virke på vektoren ovenfor får vi$$ \vec{a}' = \hat{S}.\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}.$$Vi ser, at $\vec{a}'$ præcis er den oprindelige vektor $\vec{a}$ strukket med en faktor 2 langs x-aksen.
Et andet eksempel på en operator er den, der roterer en vektor med uret med en vinkel $\theta$. Matricen for den operator er:$$ \hat{R}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$Og lader vi den virke på vektoren $\vec{a}$ får vi$$ \hat{R}(\theta).\vec{a} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cos(\theta) - \sin(\theta) \\ 2\sin(\theta) + \cos(\theta) \end{pmatrix}. $$For $\theta = \pi/2 \, (90^{\circ})$ bliver det $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
Endelig kan vi også kombinere de to operatorer, så vektoren enten bliver strukket og drejet $\hat{R}(\theta).\hat{S}.\vec{a}$ eller drejet og strukket $\hat{S}.\hat{R}(\theta).\vec{a}$. Husk at operatorer ganges på fra venstre, så for at aflæse rækkefølgen af operationerne skal man aflæse udtrykkene fra højre mod venstre. Udregner vi resultatet af de to kombinationer får vi,$$ \hat{R}(\pi/2).\hat{S}.\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}, \qquad \hat{S}.\hat{R}(\pi/2).\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}. $$Måske lidt overraskende ser vi, at de to operationer ikke giver samme resultat. Det er altså ikke ligegyldig i hvilken rækkefølge operatorerne virker. Vi er vant til, at faktorernes orden er ligemeget, $3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$, men det gælder ikke generelt for operatorer.
Kvantemekanikken repræsenterer altså de fysiske observable ved ret abstrakte matematiske størrelser, der kan udtrykkes som matricer af tal, som endda kan have komplekse værdier. Hvis teorien skal have nogen praktisk anvendelighed må vi som minimum kræve, at den forudsiger reelle værdier for måleresultaterne, da det er det vi får i ethvert eksperiment. Men hvordan kobler vi operatorerne til de konkrete måleresultater i et eksperiment?
Normalvis resulterer en operators virkning i en ændring af retningen af den tilstandsvektor den virker på\begin{equation}\hat{A}|\psi\rangle = |\psi'\rangle,\end{equation}som illustreret i eksemplet ovenfor. Men for enhver operator findes der nogle særlige tilstandsvektorer med den egenskab, at\begin{equation}\hat{A}|a_i\rangle = a_i|a_i\rangle.\end{equation}Operatorens effekt er altså at gange vektoren med en faktor, hvilket bare er en skalering som ikke ændrer dens retning. Vektorerne $|a_i\rangle$ kaldes for $\hat{A}$'s egenvektorer og tallene $a_i$ er de tilhørende egenværdier.
En sidste krølle er, at operatorers egenværdier også generelt kan være komplekse tal. Kvantemekanikken benytter også den type operatorer, men de kan aldrig repræsentere målelige fysiske størrelser. Men der findes en særlig type af operatorer, som altid har reelle egenværdier, og det er netop disse der repræsenterer de fysiske observable. For de matematikinteresserede, så hedder disse Hermitiske operatorer (opkaldt efter matematikeren Charles Hermite).
Med alt maskineriet omkring tilstandsvektorer og operatorer på plads, skal vi nu sætte tingene sammen og se, hvilken beskrivelse kvantemekanikken giver af det at foretage en måling. Som eksempel bruger vi polarisationstilstande for en enkelt foton. Det er et konkret eksempel på en qubit, og fotonen polarisationstilstand kan derfor illustreres på en sfære som den vi så i afsnittet om tilstandvektorer. De to grundlæggende kvantetilstande er $|H\rangle$ og $|V\rangle$, svarende til at fotonen er horisontalt hhv. vertikalt polariseret. På koordinatform er de to tilstande givet ved $$ |H\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad |V\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$Langs med ækvator ligger igen superpositionstilstande, bla.:\begin{align}|+\rangle &= \frac{|H\rangle + |V\rangle}{\sqrt{2}}\\|-\rangle &= \frac{|H\rangle - |V\rangle}{\sqrt{2}}\\|R\rangle &= \frac{|H\rangle + i|V\rangle}{\sqrt{2}}\\|L\rangle &= \frac{|H\rangle - i|V\rangle}{\sqrt{2}}.\end{align}Tilstandene svarer til diagonalt (+), antidiagonalt (-), højrehåndscirkulær (R) og venstrehåndscirkulær (L) polarisation. At de diagonale tilstande betegnes $|+\rangle$ og $|-\rangle$ skyldes, at de svarer til polarisationsretninger, der ligger hhv. $+45^{\circ}$ og $-45^{\circ}$ i forhold til den horisontale retning.
Lad os nu se på en række tankeeksperimenter, som forhåbentlig vil give os en fornemmelse af, hvordan kvantemekanikken beskriver målinger på en qubit. Vi vil i hvert tilfælde se på målinger af en enkelt fotons polarisationstilstand, og som måleapparat bruger vi en detektor, der kan indstilles til enten at måle fotonens polarisation i $HV$ retningerne eller i $\pm$ retningerne. Hvis det er muligt at lave de målinger, så må fotonen altså have to observable svarende til dens polarisation i de to sæt af retninger. De to observable er så hver beskrevet ved en operator, og det vores måleapparat gør, er, afhængig af hvilken indstilling vi har valgt, at omsætte den tilsvarende abstrakte operator til en talværdi som vi kan forholde os til.
Polarisationsdetektor med to forskellige indstillinger og et display der viser måleresultatet - måske lidt naivt men intuitivt.
Operatorerne der repræsenterer de to observable er givet ved matricerne$$ \hat{s}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \qquad \hat{s}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$som hver har to egenværdier, nemlig $\pm 1$. Når man måler de to observable er der altså kun mulighed for at få resultaterne $s_1 = \pm 1$ og $s_2 = \pm 1$ - that's it! Hver af egenværdierne svarer til en egenvektor, som er den kvantetilstand fotonen er blevet målt til at være i, hvis man har fået den pågældende egenværdi som resultat. For $\hat{s}_1$ er egenvektorerne\begin{align} s_1 &= +1:\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = |H\rangle \\ s_1 &= -1:\quad\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = |V\rangle\end{align}og for $\hat{s}_2$ er de\begin{align} s_2 &= +1:\quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{|H\rangle + |V\rangle}{\sqrt{2}} = |+\rangle\ \\ s_2 &= -1:\quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{|H\rangle - |V\rangle}{\sqrt{2}} = |-\rangle\end{align}.
Vi starter med en foton i en ukendt tilstand, og måler derefter på den med detektoren i $HV$-indstillingen. Resultatet bliver $s_1 = +1$, hvilket giver fotonen tilstanden $|H\rangle$. Hvis den samme måling udføres igen umiddelbart efter, hvad bliver så resultatet?
Well, den første måling kollapsede fotonen ned i tilstanden $|H\rangle$, som er en egentilstande for den observabel vi målte, nemlig $\hat{s}_1$. Så hvis vi hurtigt efter igen laver en måling af den samme observabel, så vil vi med sikkerhed få samme resultat en gang til, altså $s_1 = +1$. Hvorfor? Fordi egenvektorerne for en operator jo netop har den egenskab, at de ikke ændres når operatoren virker på dem.
Godt. Lad os gå videre med det næste tankeeksperiment. Vi starter som sidste gang med en foton i en ukendt polarisationstilstand og måler igen $\hat{s}_1$ med detektoren sat på $HV$-indstillingen. Igen bliver resultatet $s_1 = +1$, så vores foton efterfølgende er i tilstanden $|H\rangle$. Vi ændrer nu detektorens indstilling til $\pm$ og måler på fotonen igen. Hvad bliver resultatet?
Efter den første måling er fotonen i en egentilstand for $\hat{s}_1$, men fordi vi derefter indstiller detektoren til at måle $\hat{s}_2$ er fotonen ikke længere i en egentilstand for den observabel der måles, når vi måler anden gang. Det betyder, at vi ikke kan sige noget som helst om, hvad resultatet af den anden måling bliver. Målingen kollapser helt tilfældigt fotonen ned i en af tilstandene $|+\rangle$ eller $|-\rangle$. To meget vigtige pointer her er: (1) at man altså ikke kan forudsige resultatet af en måling, hvis det man måler på ikke er i en egentilstand for den observabel der måles, og (2) at det at måle generelt ændrer det man måler på. Når vi normalt måler ting, hvad end det er konditoren der tempererer sin chokolade, fotofælden der fanger en for hurtig bilist eller at vi stiller os op på badevægten, så forstår vi det som en objektiv observation af værdierne for nogle fysiske parametre, der eksisterer uafhængig af målingen. Men sådan forholder det sig altså ikke i kvantefysikken. Her er målingen en aktiv del af systemet og påvirker generelt det der måles.
Det tredje og sidste tankeeksperiment er lidt mere kompliceret og lidt sværere at forstå, så hold tungen lige i munden!Som vist på tegningen, så bygger vi videre på hvor vi slap i tankeeksperiment #2. Altså, først måler vi med $HV$-indstillingen og får $s_1=+1$. Det giver fotonen tilstanden $|H\rangle$. Derefter bruger vi $\pm$-indstillingen til at måle $\hat{s}_2$ og får resultatet $-1$. Til sidste flipper vi detektoren tilbage og måler igen $\hat{s}_1$. Hvad bliver resultatet?
Det er fristende at sige, at resultatet bliver $+1$, ik'? Vi har jo allerede målt $\hat{s}_1$ én gang og fik resultatet $+1$. Så værdien af den observabel er lagt fast og vil bare blive bekræftet af den anden måling. Præcis som vi så i det første tankeeksperiment. Men nej, så enkelt er det ikke. For denne gang har vi klemt en måling af $\hat{s}_2$ ind imellem de to $\hat{s}_1$ målinger. Målingen af $\hat{s}_2$ vasker tavlen ren fordi den kollapser fotonens tilstand ned i enten $|+\rangle$ eller $|-\rangle$, som ikke er egentilstande for $\hat{s}_1$. Det betyder, at udfaldet af vores anden $\hat{s}_1$ måling bliver helt uforudsigeligt. Det er som om vi aldrig før har målt den observabel.
Tankeeksperimenterne ovenfor har givet os nogle eksempler på, hvordan begrebet måling i kvantemekanikken er vidt forskelligt fra det vi er vant til. Vi har set at målingen i sig selv påvirker det der måles på, og i Tankeeksperiment #3 så vi, at det medfører, at ikke alle observable kan måles samtidig - målingen af $\hat{s}_2$ udviskede den viden vi tidligere havde fået om $\hat{s}_1$. Det leder os i retningen af et meget vigtigt element af kvantemekanikken: Heisenbergs ubestemthedsrelation.
Tidligere så vi i et eksempel, at rækkefølgen af, hvordan operatorer virker, kan have stor betydning for resultatet. Når det er tilfældet, altså at $\hat{A}\hat{B}$ ikke er det samme som $\hat{B}\hat{A}$, så siger man i matematikken, at operatorerne $\hat{A}$ og $\hat{B}$ ikke kommuterer. De er ikke ombyttelige. Og hvis det skal være rigtig fint skriver man\begin{equation}\left[ \hat{A}, \hat{B} \right] \neq 0.\end{equation}Størrelsen $\left[ \hat{A}, \hat{B} \right]$ kaldes for kommutatoren mellem $\hat{A}$ og $\hat{B}$ og er givet ved $\left[ \hat{A}, \hat{B} \right] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$. Hvis det er forskellige fra 0, så har rækkefølgen af de to operatorer betydning, og så kommuterer de ikke. Kort fortalt betyder det, at de to operatorer har forskellige egenvektorer og at der derfor ikke kan findes en tilstandsvektor for et system som er egenvektor for $\hat{A}$ og $\hat{B}$ samtidig.
Som vi kort har talt om før, så er rotationer et eksempel på operationer, der ikke kommuterer. Hvis en Rubiks terning roteres omkring to forskellige retninger, først omkring $y$ og så $x$ $(\hat{R}_x \hat{R}_y)$, så giver det ikke samme resultat som hvis den roteres omkring $x$ først og derefter $y$ $(\hat{R}_y \hat{R}_x)$.
Et eksempel på to ikke-kommuterende observable er position og impuls, repræsenteret ved operatorerne $\hat{x}$ og $\hat{p}$. Kommutatoren for de to operatorer er $\left[\hat{x}, \hat{p} \right] = i\hbar$, og det vil altså sige, at man ikke kan måle en partikels position og impuls samtidig. Heisenbergs ubestemthedsrelation for position og impuls er:$$\sigma_x \cdot \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}$$Det relationen fortæller os er, at produktet af standard afvigelserne for de to observable, $\sigma_x$ og $\sigma_p$, altid er større end $\hbar/2$. Standard afvigelserne er udtryk for hvor velbestemte størrelserne er. Laver vi en måling af en partikels position, som præcis fortæller os hvor den er, så er $\sigma_x = 0$. For at ubestemthedsrelationen kan være opfyldt betyder det, at $\sigma_p = \infty$, og vi ved derfor intet om partiklens impuls eller med andre ord hvor den er på vej hen. Det er vigtigt at forstå, at Heisenbergs ubestemthedsrelation ikke skyldes, at vi ikke formår at lave målingerne præcise nok. Ubestemtheden ligger i, at de fysiske egenskaber for partiklen simpelthen ikke kan have præcist definerede værdier på samme tid. Det er altså en helt fundamental begrænsning i naturen og ikke bare en praktisk begrænsning. Heisenbergs ubestemthedsrelation er endnu er tydeligt eksempel på, at tingene i kvantefysikken er helt anderledes end det vi er vant til.
